EN REMONTANT LE TEMPS... 668

18 JUILLET 2015

Cette page concerne l'année 668 du calendrier julien. Ceci est une évocation ponctuelle de l'année considérée il ne peut s'agir que d'un survol !

L'INVENTION DU ZÉRO PAR UN INDIEN

Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (Multân, 598–668) est un mathématicien Indien. C'est l'un des plus importants mathématiciens tant de l'Inde que de son époque. On lui connaît deux ouvrages majeurs : Le Brâhma Siddhânta (ब्रह्म सिद्धान्त) (628) et le Khandakhâdyaka (665).

Il dirige l'observatoire astronomique d'Ujjain, ville qui est au VIIe siècle un centre majeur de recherches en mathématique.

C'est dans son premier ouvrage le Brahmasphutasiddhanta,

Qu'il définit le zéro comme résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même,

Qu'il décrit les résultats d'opérations avec ce nouveau nombre, mais se « trompe » en donnant comme résultat zéro à 0/0.

En revanche, il donne des règles correctes sur les signes lors d'opérations entre entiers relatifs (profits et pertes).

Il donne aussi dans cet ouvrage la solution de l'équation générale de degré 2.

Brahmagupta est le premier mathématicien à utiliser l'algèbre pour résoudre des problèmes astronomiques.

Il propose comme durée de l'année : 365 jours, 6 heures, 5 minutes, et 19 secondes, lors d'une première estimation.

Dans son deuxième livre le Khandakhâdyaka, il propose 365 jours, 6 heures, 12 minutes et 36 secondes.

La vraie longueur des années est d'un peu moins de 365 jours et 6 heures.

Brahmagupta est probablement né vers 598 à Bhinmal au Rajasthan dans le nord-ouest de l'Inde. À cette époque Bhillamala est le siège du pouvoir des Gurjars. Son père est Jisnugupta. Il a probablement vécu la plus grande partie de sa vie à Bhillamala (maintenant Bhinmal, Rajasthan) durant le règne (et peut-être mécénat) du Roi Vyaghramukha. De ce fait Brahmagupta est souvent appelé Bhillamalacharya, c'est-à-dire le professeur de Bhillamala. Il a dirigé l’observatoire astronomique d'Ujjain, et a écrit durant ce poste 4 textes sur les mathématiques et l'astronomie :

Cadamekela en 624

Brahmasphutasiddhanta en 628

Khandakhadyaka en 665

Durkeamynarda en 672.

Le Brahmasphutasiddhanta (Traité correct de Brahma) est sans doute son ouvrage le plus connu.

L'historien al-Biruni (vers 1050) dans son livre Tariq al-Hind affirme que le calife Abbasside al-Ma'mun a une ambassade en Inde et fait fait venir à Baghdad un livre dont le titre en arabe a été traduit par Sindhind. Il est en général reconnu que Sindhind est le Brahmasphuta-siddhanta de Brahmagupta. (C'est tellement facile de s'attribuer le travail des autres... Et tellement moins fatiguant!)

Bien que Brahmagupta ait été familier des travaux des astronomes suivant la tradition d'Aryabhatiya, on ne sait pas s'il est familier de l’œuvre de son contemporain Bhaskara. Brahmagupta a grandement critiqué les œuvres des astronomes rivaux et son Brahmasphutasiddhanta est considéré comme un des plus anciens schismes des mathématiciens Indiens. Cette division a pour cause au début l'application des mathématiques au monde physique plutôt que les mathématiques elles-mêmes.

Dans le cas de Brahmagupta, les désaccords découlent en grande partie du choix des paramètres astronomiques et des théories. La critique des théories rivales apparaît dans les 2 premiers chapitres astronomiques et le 11e chapitre est entièrement consacré à la critique de ces théories bien qu’aucune critique n'apparaisse dans les chapitre 12 et 18.

Brahmagupta a donné la solution générale des équations linéaires dans le chapitre 18 du Brahmasphutasiddhanta,

Il continue ensuite en résolvant les équations indéterminées indiquant que la variable désirée doit d'abord être isolée puis que l'équation doit être divisée par le coefficient de la variable désirée. En particulier, il a recommandé d'utiliser « le broyeur » pour résoudre des équations à plusieurs inconnues...

Comme l'algèbre de Diophante, l'algèbre de Brahmagupta est syncopée. L'addition est indiquée en plaçant les nombres les uns à côté ses autres, la soustraction en plaçant un point sur le diminuteur et une division en plaçant le diviseur en dessous du dividende. La multiplication et les quantités inconnues sont représentées par des abréviations des termes appropriés. L'étendue de l'influence Grecque sur sa syncope, s'il y en a une, est inconnue et il est

possible que les syncopes Grecques et Indiennes dérivent d'une source Babylonienne commune.

Il dirige l'observatoire astronomique d'Ujjain, ville qui est au VII siècle un centre majeur de recherches en mathématique. Brahmagupta est le premier mathématicien à utiliser l'algèbre pour résoudre des problèmes astronomiques.

En mathématiques, l'identité de Brahmagupta dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

L'identité se conserve dans n'importe quel anneau commutatif, mais est très utilisée pour les entiers.

Les mathématiques indiennes : L’âge d’or des mathématiques Indiennes s’étend du 5e siècle au 10e siècle, durant la période classique de l’Inde, pendant laquelle la dynastie des Gupta domine. Les concepts mathématiques Indiens se sont diffusés et ont trouvé un écho en Chine et dans les mathématiques musulmanes, avant de parvenir en Europe. Leurs connaissances seront ensuite utilisées par de grands mathématiciens de ces pays, ce qui conduit ensuite à leur propre rayonnement scientifique.

Les savants Indiens sont les héritiers des astronomes Mésopotamiens et utilisent leurs découvertes, telles que l’astronomie, la trigonométrie...

En ce qui concerne le développement de la discipline mathématique, la plus féconde est certainement la numération décimale de position, appuyée sur des chiffres « arabo-indiens », et qui se sont imposés dans le monde entier et encore utilisé de nos jours.

2 mathématiciens se démarquent à cette époque : Aryabhta (476-550) et Brahmagupta (598-668)

A) Aryabhta

C'est le premier des grands astronomes et mathématiciens de l'âge classique de l'Inde. Il naît en 476 et meurt en 550.

Il a notamment écrit des livres comme l’Āryabhaṭīya où il y explique les mathématiques nécessaires aux calculs, ainsi que de nombreux chapitres regroupant le thème de l’astronomie.

Par exemple :

Il a découvert que la terre tourne sur elle-même, et en a calculé la circonférence, comme étant d’environ 40 000km

Il donne une approximation précise de π. Dans son traité l'Āryabhaṭīya, il écrit :

« Ajoutez 4 à 100, multipliez ensuite le résultat par 8 puis ajoutez alors

62 000. Le résultat est alors approximativement la circonférence d'un cercle d'un diamètre de 20 000. Par cette règle, la relation de la circonférence au diamètre est donnée »

Pour résumé: 4 + 100 = 104
104 x 8 = 832
62 000 + 832 = 62,832

Il utilise la circonférence de la terre, de 62 832 unités Indiennes (40 000km) et son diamètre de 20 000 unités indiennes (12 755km)

62832/20000 = 3.1416, sa relation de la circonférence au diamètre est donc égale à 3.1416

Vérification : Il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10 − 5 près.

339/108

Il dit que les planètes suivent une trajectoire elliptique et non circulaire comme on le croyait auparavant.

On lui attribue la « règle de trois » qui est utilisé de nos jours, dès les classes élémentaires (Ex : a/b=c équivaut à a=bc)

Il classe déjà les équations par catégorie : simple, carrée, cubique.

Ex : ax + c = by ; ax²+ bx + c = 0

Il utilise mais ne définit pas explicitement le 0, alors que Bramhagupta l’utilise et le définit.

B) Brahmagupta :

C’est un grand mathématicien indien, il est né en 598 et mort en 668. Il dirigeait l'observatoire d’Ujjain, ville du VIIe siècle très importante dans le domaine des mathématiques.

Brahmagupta est le premier mathématicien à utiliser l'algèbre pour résoudre des problèmes astronomiques. Il calcule et propose comme durée de l'année : 365 jours, 6 heures, 5 minutes, et 19 secondes, lors d'une première estimation, ce qui est presque exact, à quelques minutes près.

Il a notamment inventé le concept de nombres négatifs en 628, pour représenter les dettes, les profits et les pertes pour les calculs commerciaux. En effet, il est beaucoup plus simple de représenter une dette par un nombre négatif que par une phrase. Cette utilisation des nombres négatifs se retrouve bien évidemment aujourd’hui.

Brahmagupta a inventé un théorème donnant une condition nécessaire sur la perpendicularité des diagonales d'un quadrilatère inscriptible dans un cercle. L’énoncé est : Si un quadrilatère inscriptible a des diagonales perpendiculaires alors toute droite coupant perpendiculairement un côté quelconque du quadrilatère et passant par l'intersection des deux diagonales partage le côté opposé en deux parties égales. Il s’agit aussi d’un cas particulier de la propriété des médianes.

Il a aussi et surtout inventé l’utilisation du zéro, qu’il définis avec les nombres négatifs dans son livre, le Brâhma Siddhânta, en 628. Ces 2 inventions sont de véritables révolutions des mathématiques, ouvrant la voie à des techniques de calculs jusque là inconnue.

C) Généralités :

Les indiens maîtrisent plusieurs autres domaines des mathématiques :

De très nombreux travaux portent sur des équations polynomiales de degrés divers, ayant par exemple pour applications des partages de salaires entres plusieurs ouvriers.

Ils travaillent sur des équations linéaires, qui sont des systèmes a plusieurs équations ayant les mêmes inconnues

Certaines de leurs recherches portent aussi sur les équations du second degré

Il les résolve de la même façon que de nos jour, c'est-à-dire à l’aide d’un discriminant : il y a alors 3 possibilités :

-Si le discriminant est négatif, l’équation n’a pas de racines,

-Si le discriminant est égal a 0, l’équation a une solution appelé solution double, qui égale à x= -b/2a

- Si le discriminant est positif, l’équation possède alors 2 racines :

Des recherches étaient produite sur la Trigonométrie avec l'apparition des fonctions trigonométriques et des tables (comme les tables Babyloniennes) permettant de les calculer. C’est en Inde qu’est définit pour la première fois le sinus à partir de la relation entre la moitié d'un angle et la moitié d'une corde, tout en définissant également le cosinus, le contre-sinus et l'inverse du sinus.

La trigonométrie était une science très utile, elle permettait en effet de résoudre des problèmes à base de triangles, pour des problèmes sociaux de la vie quotidienne, comme la constructions de bâtiments (temples, palais…), la  trigonométrie est aussi utilisée pour calculer l'écoulement d'eau, elle est aussi appliquée en astronomie pour mesurer les distances entre les étoiles.

Le zéro Indien :

Ce zéro est utilisé depuis le 2e siècle avant J.C. pour signaler une place vide, comme caractère. Contrairement aux Babyloniens, en créant le zéro vers le 5e siècle,  les Indiens ont pu contourner  l’obstacle  de la représentation de l’espace vide

Ils lui donnent la forme ronde telle que nous la connaissons aujourd’hui. Ce chiffre zéro a donc permit de développer les mathématiques (l’invention de l’algèbre par les Indiens) et les autres sciences, par sa simplicité d’utilisation et de notation.

La religion Hindoue intègre le vide et l’infini, le zéro est donc accepté, car ils servent à la religion (On rappelle que les mathématiciens Indiens étaient aussi des prêtres).

Le livre Brâhma Siddhânta de Brahmagupta est le tout premier livre qui mentionne zéro comme un nombre, Brahmagupta est donc considéré comme l'homme qui a trouvé zéro. En 628, Brahma gupta définit alors le zéro comme résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même :

a + 0 = a

a - 0 = a

a*0 = 0

Mais il se « trompe » en donnant comme résultat zéro à 0/0 (le bon résultat est l’infini).

À cette époque. Le zéro est représenté par un cercle et est nommé « sunya » qui signifie « vide » en langue Indienne.

Le zéro ne représente rien mais peut donner naissance à d'autres nombres L’invention du zéro a permis de représenté les profits et les pertes en complétant l’invention des nombres négatif, elle est donc très utile dans la vie courante, dans le commerce par exemple. L’invention du zéro a aussi permis d’ouvrir la voie au développement de l'algèbre et des techniques de calcul, et donc à l'essor des sciences et des techniques, c’est une découverte fondamentale qui favorise le développement des sciences et des civilisations.

On peut ainsi dire que l’invention du zéro s’inscrit dans un contexte de recherches avancées en mathématiques et en sciences pendant l’âge d’or de l’Inde. Le zéro a donc été inventé par la volonté, d’une part, de pousser les calculs algébrique et les méthodes de calculs toujours plus loin et toujours plus compliqués, et d’autre part de favoriser la vie courante, illustrant les profits et les pertes dans le commerce, ou facilitant les calculs utilisés dans différents métiers comme architecte par exemple.

Les mathématiques Indiennes sont donc vastes et très développées, les découvertes durant cette période d’âge d’or sont primordiales et permettent une avancée scientifique exceptionnelle. Les civilisations arabe et Européenne vont s’inspirer et continuer les travaux des indiens, pour en arriver aux mathématiques modernes.

 En mathématiques, le théorème de Brahmagupta donne une condition nécessaire sur la perpendicularité des diagonales d'un quadrilatère inscriptible dans un cercle.

Théorème :

Si un quadrilatère inscriptible a des diagonales perpendiculaires alors toute droite coupant perpendiculairement un côté quelconque du quadrilatère et passant par l'intersection des deux diagonales partage le côté opposé en deux parties égales.

On suppose que ABCD est un quadrilatère inscriptible qui a ses diagonales perpendiculaires, et nous voulons prouver que AF = FD. Nous allons donc montrer que AF et FD sont tous les deux égales à FM.

Les angles FAM et CBM sont égaux (ce sont des angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle). De plus, les angles CBM et BCM sont des angles complémentaires ainsi que les angles CME et BCM donc les angles CBM et CME sont égaux. Et enfin, les angles CME et FMA sont égaux en tant qu'angles opposés par le sommet. Finalement, AFM est un triangle isocèle, et par conséquent ses côtés AF et FM sont égaux.

La démonstration que FD = FM est similaire. Les angles FDM, BCM, BME et DMF sont tous égaux, donc DFM est un triangle isocèle, d'où FD = FM. Il s'ensuit que AF = FD, ce qui démontre le théorème.

Brahmagupta — Wikipédia

https://fr.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta

• Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (Multân, 598–668) est un mathématicien indien. ... Il proposa comme durée de l'année : 365 jours, 6 heures, 5 minutes, et 19 ...

• Brahmagupta

Brahmagupta - Mathématiques élémentaires

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10 mars 2010 - Brahmagupta est un mathématicien indien. ... Catégories : Histoire du monde indien - Mathématicien indien - Naissance en 598 - Décès en 668 ... La vraie longueur des années est d'un peu moins de 365 jours et 6 heures.